공사 중인 페이지입니다! 가독성이 떨어질 수 있습니다.
3장에서는 미분의 정의 및 행동과 밀접한 영향을 가지는 함수의 극한과 연속을 다룬다.
3.1. 함수의 극한과 연속성의 정의
먼저 극한을 정의하자. 함수 $f: X \rightarrow Y$ 와 $X$ 의 극한점(원소가 아니어도 된다) $x_0 \in X'$ 과 $y \in Y$ 이 있을 때, 임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 다음을 만족하는 양수 $\delta$ 가 존재하면 $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} = y_0$ 이다.
$$
x \in X, 0 < ||x - x_0|| < \delta \Rightarrow ||f(x) - f(x_0)|| < \epsilon
$$
즉 함수의 극한값이 존재한다는 것은 충분히 좁은 정의역의 근방에서 함수값과의 차이를 임의로 작게 만들 수 있는 치역의 어떤 값이 존재한다는 의미이다. 물론 그 값이 바로 극한값이다. 고등학교때부터 익히 알아왔듯 이러한 극한은 함수 간에 선형성을 가진다.
위 극한의 정의의 $0 < ...$ 부분을 보아 알 수 있듯, 극한의 개념은 $x_0$ 에서의 함수값의 정의와는 무관하다. 이제 극한값과 그 점($x_0$)에서의 함수값이 일치하면 $f$ 가 $x_0$ 에서 연속이라고 말한다. 즉
$$
x \in X, ||x - x_0|| < \delta \Rightarrow ||f(x) - f(x_0)|| < \epsilon
$$
다시 말해 $f$ 가 $x_0$ 에서 연속일 필요충분조건은 $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} = f(x_0)$ 이다. 이에 연속성 역시 함수간에 선형적이라는 사실은 자명하다.
Tip: 함수가 연속이 아님을 증명하기 위해서는, 어떤 $\delta$ 에 대해서도 위의 조건을 만족하지 않는 점이 존재하는 양수 $\epsilon > 0$ 이 존재해야 한다. 모든 입실론에 대해 그런 델타가 꼭 하나씩은 존재함을 부정하기 위해, 어떤 입실론에 대해서는 그런 델타가 하나도 존재하지 않음을 증명해야 하는 것이다!
만약 함수가 어떤 점에서 연속이라면, 당연히 그 점으로 수렴하는 수열을 만들어낼 수 있다. 그 수열은 코시수열일 것이므로 충분히 큰 순서에 대해 수열의 값을 극한점에 충분히 가깝게 만들 수 있고, 이에 (함수가 연속이므로) 정의에 의해 그 함수값 역시 서로 충분히 가까워진다. 만약 함수가 옹골집합 위에 정의된 전단사함수(one-to-one and onto)라면 그 역함수 역시 연속일 것이므로 (다음 절에서 증명된다) 마찬가지의 논의가 가능하다. 즉 수열의 극한과 연속함수는 그 순서를 서로 바꿀 수 있다. 그 역도 성립하여, 수열의 극한과 함수의 순서를 바꿀 수 있다면 그 함수는 연속함수이다.
함수 $f: X \rightarrow Y$ 와 정의역의 한 점 $x_0 \in X$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
함수 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속이다.
•
$X$ 안의 수열 $<x_n>$ 이 $x_0$ 로 수렴하면, 수열 $<f(x_n)>$ 이 $f(x_0)$ 으로 수렴한다.
또 당연하게도 서로 다른 두 함수가 각각 적절한 점에 대해 연속이라면, 두 함수의 합성함수 역시 적절한 점에서 연속이다.
이제 수열의 극한과 연속성의 관계를 이용해 모든 점에서 불연속인 특이한 함수를 만들어낼 수 있다. 예컨대 유리수인 점과 무리수인 점에서의 함수값이 다른 함수를 생각해 보면, 각 점으로 수렴하는 무리수열과 유리수열의 함수의 극한값이 다르기 때문에 극한값 자체가 존재할 수 없다. 따라서 당연히 그 각각의 점들에서 불연속이다.
이러한 연속성을 조금 더 일반화하여, 거리의 개념을 이용하지 않고 집합의 열림 및 닫힘의 개념만으로 정의해낼 수도 있다. 먼저, 연속성의 정의은 집합의 상의 개념으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$
f(N(x, \delta) \cup X) \subset N(f(x), \epsilon) \cup Y
$$
즉 그 상이 임의로 작은 함수값의 근방 안에 들어갈 수 있는 정의역의 근방을 항상 잡을 수 있다는 의미이다.
이러한 연속의 정의와, 상의 개념을 이용해 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다. $f^{-1}[f(A)] \supset A$, $f[f^{-1}(A)] \subset A$ 를 이용해 증명할 수 있다.
함수 $f: X \rightarrow Y$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
함수 $f$ 는 X 위에서 연속이다.
•
집합 $B \subset Y$ 가 $Y$ 의 열린 집합이면, $f^{-1}(B)$ 도 $X$ 의 열린 집합이다.
•
집합 $B \subset Y$ 가 $Y$ 의 닫힌 집합이면, $f^{-1}(B)$ 도 $X$ 의 닫힌 집합이다.
3.2. 최대최소정리와 사이값정리
이번 절에서는 미분 및 적분의 행동을 이해하는 데 숱하게 이용되는 최대최소정리와 사이값정리를 다룬다.
먼저 어떤 전사함수가 연속이고 그 정의역이 옹골집합이라면, 위에서 정의한 연속성에 의해 치역의 임의의 열린 덮개는 정의역의 열린 덮개일 것이며, 이에 유한 부분덮개가 존재하므로 치역 역시 옹골집합임을 알 수 있다. 그런데 옹골집합은 그 집합이 어떤 집합의 부분집합인지와는 무관한 성질이기 때문에 다음이 성립한다.
함수 $f: X \rightarrow Y$ 가 연속일 때 $X$ 가 옹골집합이면 $Y$ 도 옹골집합이다.
옹골집합은 좌표 공간에서 유계 닫힌 집합과 같은 개념임을 기억하자. 다음 정리들은 자명하다.
(최대최소정리) 옹골집합 위에서 정의된 연속 실함수 $f: X \rightarrow R$ 는 최대값과 최소값을 가진다.
옹골집합 위에서 정의된 연속 실함수 $f: X \rightarrow R$ 의 함수값이 항상 양이면, 임의의 $x \in X$ 에 대해 $f(x) ≥ \delta$ 인 양수 $\delta > 0$ 가 존재한다.
유계 닫힌 구간에서 정의된 연속함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 는 최대값과 최소값을 가진다.
정의역이 옹골집합인 전단사 함수 $f: X \rightarrow Y$ 가 연속이면, 그 역함수 $g: Y \rightarrow X$ 역시 연속이다.
이제 사이값정리를 살펴본다. 사이값정리는 당연하게도 집합의 연결성과 밀접한 관계를 가진다. 이에 다음 정리를 준비한다.
좌표공간의 부분집합 $S$ 에 대하여 다음은 동치이다.
•
집합 $S$ 는 연결되어 있지 않다.
•
집합 $S$ 에서 정의된 전사 연속함수 $f: S \rightarrow {0, 1}$ 가 존재한다.
즉 모든 연결되지 않은 집합은 집합 ${0, 1}$ 과 대응될 수 있다. 혹은 집합 ${0, 1}$ 과 대응될 수 있는 집합은 연결집합이 아니다. 이 대우를 생각해보면 다음과 같은 정리가 자연스럽게 도출된다.
함수 $f: X \rightarrow Y$ 가 연속이고 전사함수일 때, $X$ 가 연결집합이면 $Y$ 도 연결집합이다.
이는 좌표공간에서는 곧 다음의 정리를 의미한다.
구간 $I \subset R$ 에서 정의된 연속함수 $f: I \rightarrow R$ 의 상 $f(I)$ 은 구간이다.
이로써 사이값정리를 얻는다.
(사이값정리) 함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 가 연속이고 $f(a) ≤ \alpha ≤ f(b)$ 이면, $f(c) = \alpha$ 를 만족하는 $c \in [a, b]$ 가 존재한다.
이제 연속함수는 집합의 옹골성과 연속성을 모두 보존함을 알아냈다. 그러면 마지막으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
유계 닫힌 구간 $[a, b]$ 에서 정의된 연속 실함수 $f$ 의 상 $f([a, b])$ 는 유계 닫힌 구간이다.
3.3 고른연속함수
함수의 연속성을 정의할 때, 각 점에서 해당 조건을 만족하는 $\delta$ 가 존재하는 것으로 충분했다. 이는 해당 점에 국한된 이야기이므로 함수 전체에 대한 성질을 논하지는 못한다. 이에 따라 자연스럽게 특정 점에 국한되지 않은 연속성의 개념을 찾게 되는데, 이것이 바로 고른연속성이다. 그리고, 실제로, 옹골집합에서 정의된 연속함수는 고른연속성을 가지게 된다.
먼저 고른연속을 정의한다. 함수 $f: X \rightarrow Y$ 가 있을 때, 임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 다음 성질을 만족하는 양수 $\delta$ 가 존재하면 함수 $f$ 가 $X$ 에서 고른연속이라 한다.
$$
x, y \in X, ||x - y|| < \delta \Rightarrow ||f(x) - f(y)|| < \epsilon
$$
Tip: 직관적으로 생각해보면, 고른연속일 필요충분조건은 연속함수의 기울기가 미쳐 날뛰지 않는 것이다. 실제로, 도함수가 유계일 경우 함수는 고른연속이다.
이제 옹골집합에서 정의된 연속함수가 고른연속임을 증명한다. 임의의 $\epsilon > 0$ 이 주어졌을 때, 연속성의 정의에 의해 각 점에서 임의의 두 점의 함수값의 차이가 $\epsilon$ 보다 작아지는 근방을 찾을 수 있다. 이 근방들은 각각 열린집합이고, 그 합집합은 당연히 정의역의 덮개이므로 옹골집합의 정의에 의해 정의역을 덮는 유한개의 근방들을 찾을 수 있다. 이 근방들의 반지름의 최소값을 $\delta$ 로 잡으면, 삼각부등식을 활용하여 임의의 두 점의 거리가 $\delta$ 보다 작다면 그 함수값의 차이가 $\epsilon$ 보다 작음을 보일 수 있다. 즉,
하이네 정리: 옹골집합에서 정의된 연속함수 $f: X \rightarrow Y$ 는 고른연속이다.
이전에 연속함수의 경우 수열이 정의역의 원소로 수렴한다면, 그 상 역시 수렴성을 보존함을 보였다. 그런데 코시수열에 대해서는 이와 같은 결과를 말할 수 없는데, 이는 수렴값이 정의역의 원소라는 보장이 없기 때문이다. 이는 수렴성과 연속성의 연관성에 의해 열린 집합에서 정의된 함수의 양 끝점에 대해 그 연속성을 논하는 것이 쉽지 않음을 의미한다.
그런데 고른연속함수의 경우에는 코시수열을 보존함을 쉽게 보일 수 있는데, 따라서 두 정리를 얻는다.
함수 $f: X \rightarrow Y$ 가 고른연속이고 $<x_n>$ 이 $X$ 의 코시수열이면, 그 상 $<f(x_n)>$ 도 $Y$ 의 코시수열이다.
함수 $f: X \rightarrow Y$ 가 고른연속이라 하자. 그러면 함수 $f$ 는 정의역의 닫힘 $\bar{X}$ 까지 연속적으로 확장 가능하다.
3.4. 단조함수
단조함수는 여러 가지 편한 성질들을 갖는다. 단조함수와 관련된 정리들을 나열함으로써 이 장을 마무리해도 될 것 같다.
열린 구간 $(a, b)$ 에서 정의된 단조함수 $f$ 는 정의역의 어느 점에서나 좌극한과 우극한을 가지며, $f(a+)$ 와 $f(b-)$ 가 존재한다.
구간에서 정의된 단조함수의 불연속점은 셀 수 있는 집합이다.
구간에서 정의된 연속함수 $f: I \rightarrow R$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
$f$ 가 단사함수이다.
•
$f$ 가 증가함수이거나 감소함수이다.
•
만일 위 조건들이 충족되면 $f$ 의 역함수는 연속이다.
이제 함수의 정의역과 치역, 그리고 함수의 극한과 연속성의 개념을 포함해 미분을 정의하고 이해하기 위한 함수의 요소 및 성질들을 모두 정리해 보았다. 다음 장부터는 드디어 미분의 정의와 그 성질에 대해 공부해 본다.
E.O.D.