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이제 드디어 해석개론 1 과목의 마지막 단원인 적분에 대해 공부한다.
우선 리만 적분에 대해 배우는데, 리만 적분이 우리가 알고 있던 그 적분에 가장 가깝다고 보면 되겠다. 특히 고등학교 때 배운 구분 구적법에서는 $x$ 축을 등구간으로 나누어 각 구간의 끝 점을 사용하여 적분 값을 추론해 내었는데, 이 절에서는 리만 적분을 정의한 후 $x$ 축을 무작위로 나누고, 그 구간에서 아무 점이나 잡은 리만합에 대해 생각해도 논리적으로 동일하게 적분 가능성을 논할 수 있음을 보인다.
다음으로 스틸체스 적분에 대해 배우는데, 스틸체스 적분은 한마디로 $x$ 축을 재던 자를 특정한 함수로 대체한 적분이다. 이러한 스틸체스 적분을 정의하기 위해 먼저 "자" 가 될 수 있는 함수인 유계 변동 함수에 대해 배운다. 이 스틸체스 적분은 치환적분에 대한 이론적 토대를 제공해 준다.
5.1. 리만 적분
유계인 함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 의 분할 $P = {x_0 = a, x_1, ..., x_{n - 1}, x_n = b}$ 이 주어졌다고 하자. 그리고 $M_i = sup \{ f(x): x_{i - 1} < x < x_i \}$ , $m_i = inf \{f(x): x_{i - 1} < x < x_i \}$ 라 하면, 그 상합과 하합을 다음과 같이 정의한다.
$$
U_a^b(f, P) = \sum_{i = 1}^n{M_i(x_i - x_{i - 1})}
\\
L_a^b(f, P) = \sum_{i = 1}^n{m_i(x_i - x_{i - 1})}
$$
당연히 임의의 분할 $P, P'$ 에 대해 $L(f, P) ≤ U(f, P')$ 이고, 이는 유계인 함수의 상합이 아래로 유계, 하합이 위로 유계라는 것을 말해준다. 이에 따라 상적분과 하적분을 다음과 같이 정의할 수 있다.
$$
\overline{ \int_a^b } f = \inf{ \{ U_a^b(f, P) : P \in P[a, b] \} }
\\
\underline{ \int_a^b } f = \sup{ \{ L_a^b(f, P) : P \in P[a, b] \} }
$$
이제 함수 $f$ 의 상적분과 하적분의 값이 같으면 $f$ 가 리만 적분 가능하다고 말한다. 당연히 그 값이 리만 적분값이다.
상적분과 하적분은 각각 상합의 하한, 하합의 상한이므로 하한과 상한의 성질에 의해 다음과 같은 논의가 가능하다. 이는 리만 적분 가능성을 살펴보기 위한 좋은 도구가 된다.
유계함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
함수 $f$ 는 리만 적분 가능하다.
•
임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 $U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$ 을 만족하는 분할 $P \in P[a, b]$ 가 존재한다.
여기서 분할을 잘게 쪼갤수록, 즉 분할 $P$ 에 원소를 추가할수록 그 하합은 커지고 상합은 작아진다는 사실에 주목해보자. 그러면 위의 두 번째 명제는 분할 $P$ 를 포함하는 임의의 분할이 해당 조건을 만족한다고 볼 수도 있겠다. 이는 함수의 극한이나 수열의 수렴을 논할 때 많이 했던 논의임을 짚고 넘어가자.
또 집합의 상한, 하한간의 관계에 의해 리만 적분의 대응 관계는 선형성을 가지고 있음을 알 수 있다.
함수 $f, g: [a, b] \rightarrow R$ 이 리만 적분 가능하다고 하고 실수 $\alpha \in R$ 가 주어졌을 때 다음이 성립한다.
•
함수 $f + g$ 가 리만 적분 가능하고, $\int_a^b (f + g) = \int_a^b{f} + \int_a^b{g}$ 이다.
•
함수 $\alpha f$ 가 리만 적분 가능하고, $\int_a^b{(\alpha f)} = \alpha \int_a^b{f}$ 이다.
이제 $\overline{\int_a^c}{f} + \overline{\int_c^b}{f} = \overline{\int_a^b}{f}$, $\underline{\int_a^c}{f} + \underline{\int_c^b}{f} = \underline{\int_a^b}{f}$ 을 보임으로써 다음 정리를 증명할 수 있다.
함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 가 리만 적분 가능하고 $a < c < b$ 이면 함수 $f$ 는 구간 $[a, c]$ 와 $[c, b]$ 에서도 리만 적분 가능하며, $\int_a^c{f} + \int_c^b{f} = \int_a^b{f}$ 이다. 역으로 함수 $f$ 가 구간 $[a, c]$ 와 $[c, b]$ 에서 리만 적분 가능하면 $[a, b]$ 에서 리만 적분 가능하고, 위의 식이 성립한다.
임의의 분할 $P \in P[a, b]$ 에 대해 $Q = (P \cap [a, c]) \cup {c}$, $R = (P \cap [c, b]) \cup {c}$ 라 두면, $\int_a^c{f} + \int_c^b{f} ≤ U_a^c(f, Q) + U_c^b(f, R) = U_a^b(f, P \cup {c}) ≤ U_a^b(f, P)$ 이다. 또 $U_a^c(f, P) < \overline{\int_a^c}{f} + \epsilon/2$, $U_c^b(f, Q) < \overline{\int_c^b}{f} + \epsilon/2$ 인 분할 $P, Q$ 를 잡으면 $\overline{\int_a^b}{f} ≤ U_a^b(f, P \cup Q) = U_a^c(f, P) + U_c^b(f, Q) < \overline{\int_a^c}{f} + \overline{\int_c^b}{f}$ 이다. 즉 $\overline{\int_a^c}{f} + \overline{\int_c^b}{f} = \overline{\int_a^b}{f}$ 이다. 하적분에 대해서도 비슷한 논의를 할 수 있으며, 이에 따라 위의 정리가 증명된다.
마지막으로 다음의 정리 역시 $| |f(x)| - |f(y)| | ≤ |f(x) - f(y)|$ 에 의해 쉽게 증명 가능하다.
함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 이 리만 적분 가능하면 $|f|$ 가 리만 적분 가능하고, $|\int_a^b{f}| ≤ \int_a^b{|f|}$ 이다.
5.2. 리만 적분 가능 함수
이번 절에서는 연속함수 및 단조함수가 항상 리만 적분 가능함을 보이고, 리만 적분 가능성이 상합과 하합이 아닌 구간 내의 임의의 점을 잡은 리만합에 의해서도 정의 가능함을 보인다.
만약 어떤 연속함수가 유계 닫힌 구간에서 정의되었다면 그 함수는 해당 구간에서 고른연속임을 이미 증명했다. 따라서 임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 임의의 두 점에 대한 함수값의 차가 $\epsilon$ 보다 작아지는 interval $\delta$ 를 구할 수 있는데, 이 때 모든 분할의 길이를 $\delta$ 보다 작게 잡으면 해당 분할에 대한 상합과 하합의 차가 임의로 작아지게 된다. 따라서 다음 정리를 얻는다.
연속함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 는 리만 적분 가능하다.
또 어떤 함수가 단조함수라면, 임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\frac{b - a}{n} [f(b) - f(a)] < \epsilon$ 인 자연수 $n$ 을 잡을 수 있다. 그런데 분할 $P$ 의 길이가 모두 $\frac{b - a}{n}$ 이 되게 잡으면, 즉 구간을 $n$ 등분한 구간을 잡으면 위의 식은 상합과 하합의 차는 당연히 위의 식보다 작아진다. 이에 다음 정리를 얻는다.
단조함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 는 리만 적분 가능하다.
이전 절에서 하합과 상합에 의한 리만 적분의 정의가 함수의 극한이나 수열의 수렴과 밀접하게 관련이 되어 있음을 언급했다. 예컨대 리만 적분의 정의에 언급된 분할을 $P_0$ 라 두면, 분할 $P$ 에 대한 극한값의 꼴로 표현된 다음의 명제와 동치임을 알 수 있다.
$$
P \supset P_0 \Rightarrow 0 ≤ U_a^b(f, P) - \int_a^b{f} < \epsilon, 0 ≤ \int_a^b{f} - L_a^b(f, P) < \epsilon
$$
또 $P \supset P_0 \Rightarrow ||P|| ≤ ||Q||$ 임은 당연하다. 역은 성립하지 않는다.
이제 이를 이용하여 리만 적분 가능성을 재정의할 수 있는데, 그 전에 임의의 $t_i \in [x_{i - 1}, x_i] 에 대해 리만합을 다음과 같이 정의한다.
$$
R(f, P) = \sum_{i = 1}^n{ f(t_i)(x_i - x_{i - 1}) }
$$
이에 리만 적분 가능성을 다음과 같이 재정의할 수 있다. 증명은 생략한다.
유계함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 와 실수 $A \in R$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
함수 $f$ 는 리만 적분 가능하고 $\int_a^b{f} = A$ 이다.
•
임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 $P \in P[a, b], ||P|| < \delta \Rightarrow |R(f, P) - A| < \epsilon$ 을 만족하는 양수 $\delta > 0$ 가 존재한다.
•
임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 $P \in P[a, b], P \supset P_0 \Rightarrow |R(f, P) - A| < \epsilon$ 을 만족하는 분할 $P_0 \in P[a, b]$ 가 존재한다.
5.3. 미적분의 기본 정리
이제 이번 절에서는 리만 적분을 계산하는 몇 가지 방법에 대해 배운다. 증명 없이 가자.
우선 새로운 함수 $F: [a, b] \rightarrow R$ 을 $F(x) = \int_a^x{ f(t) dt }$ 로 정의한다.
리만 적분 가능한 함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 에 대해 함수 $F$ 는 고른 연속 함수이다. 만일 $f$ 가 점 $x_0$ 에서 연속이면 $F$ 는 $x_0$ 에서 미분 가능하고 $F'(x_0) = f(x_0)$ 이다.
즉 임의의 연속함수는 원시함수를 가진다. 또 이에 평균값 정리를 이용하면 다음 정리를 얻는다.
함수 $f: [a, b] \rightarrow R$가 연속이면 $\frac{1}{b - a} \int_a^b{f(x)dx} = f(x_0)$ 인 점 $x_0 \in (a, b)$ 가 존재한다.
또 평균값 정리를 이용해 원시 함수의 차를 리만합으로 표현 가능하므로, 다음의 정리를 얻는다.
(미적분의 기본 정리) 함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 가 리만 적분 가능하고 $F' = f$ 이면 $\int_a^b{ f(t)dt } = F(b) - F(a)$ 이다.
이에 도함수가 같다는 사실에서 각각 다음의 정리를 얻는다.
(치환적분) 전사함수 $g: [a, b] \rightarrow [c, d]$ 가 $C^1$ 함수이고, $f: [c, d] \rightarrow R$ 가 연속이라 하자. 그러면 $\int_{g(a)}^{g(b)}{ f(x)dx } = \int_a^b{ f(g(t)) g(t)' dt }$ 이다.
(부분적분) 함수 $F, G: [a, b] \rightarrow R$ 이 미분 가능하고 $f = F'$ 와 $g = G'$ 이 각각 리만 적분 가능하면, $\int_a^b{ F(x)g(x) dx } = F(b)G(b) - F(a)G(a) - \int_a^b{ f(x)G(x) dx }$ 이다.
5.4. 유계 변동 함수
이제 적분의 "자"를 변형하여 적분값을 구하는 스틸체스 적분을 정의하기 위해 유계 변동 함수를 정의하고 그 성질을 공부한다. 단도직입적으로 말하면 자의 역할은 단조증가함수가 할 수 있는데, 유계 변동 함수는 두 단조증가함수의 차로 표현 가능하다.
우선 임의의 분할 $P$ 에 의한 함수 $f$ 의 변동 $V_a^b(f, P)$ 를 다음과 같이 정의한다.
$$
V_a^b(f, P) = \sum_{i = 1}^n{| f(x_i) - f(x_{i - 1}) |}
$$
이 때 집합 ${V_a^b(f, P) : P \in P[a, b]}$ 가 위로 유계인 경우 함수 $f$ 를 유계 변동 함수라 하고, 이 집합의 상한을 전변동 $V_a^b(f)$ 라 한다. 평균값 정리에 의해 도함수가 유계인 경우 해당 함수는 유계 변동 함수임을 알 수 있고, 또 유계 닫힌 구간에서 정의된 임의의 단조함수 역시 유계 변동 함수임을 알 수 있다. 마지막으로 유계 변동 함수는 당연히 유계이다.
상한의 성질과 삼각부등식에 의해 다음 정리를 얻는다.
함수 $f, g: [a, b] \rightarrow R$ 가 유계 변동 함수이면 다음이 성립한다.
•
함수 $f + g$ 와 $fg$ 도 유계 변동 함수이고, $V_a^b(f + g) ≤ V_a^b(f) + V_a^b(g)$, $V_a^b(fg) ≤ M_f V_a^b(g) + M_g V_a^b(f)$ 이다.
•
실수 $\alpha \in R$ 에 대해 $\alpha f$ 도 유계 변동 함수이고, $V_a^b(\alpha f) = |\alpha| V_a^b(f)$ 이다.
또 유계 변동 함수는 리만 적분과 유사한 다음과 같은 성질을 가진다.
함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 가 유계 변동이고 $a < c < b$ 이면 함수 $f$ 는 구간 $[a, c], [c, b]$ 에서도 유계 변동이며 $V_a^c(f) + V_b^c(f) = V_a^b(f)$ 이다. 역으로 함수 $f$ 가 구간 $[a, c], [c, b]$ 에서 유계 변동이면 구간 $[a, b]$ 에서도 유계 변동이고 위의 식이 성립한다.
이제 임의의 두 단조증가함수는 유계 변동 함수이므로 그 차는 유계 변동 함수이고, 또 임의의 함수 $f$ 에 대해 두 함수 $g(x) = V_a^x(f)$, $h(x) = g(x) - f(x)$ 를 생각해보면 $g$ 는 당연히 단조증가함수이고, $h$ 도 전변동의 성질에 의해 단조증가함수이므로 다음의 정리를 얻는다. 특히, 다음의 정리로 인해 임의의 유계 변동 함수는 적분의 "자" 로 사용될 수 있는 합리성을 가지게 된다.
함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
함수 $f$ 가 유계 변동 함수이다.
•
관계식 $f = g - h$ 가 성립하는 단조증가함수 $g, h: [a, b] \rightarrow R$ 이 존재한다.
또 이러한 전변동의 개념을 벡터함수로 확장하게 되면 곡선의 길이를 얻게 된다. 즉 곡선 $\alpha: [a, b] \rightarrow R^m$ 과 분할 $P$ 가 주어지면
$$
\Lambda(\alpha, P) = \sum_{i = 1}^n{ || \alpha(x_i) - \alpha(x_{i - 1}) || }
\\
\Lambda(\alpha) = \sup{ \Lambda(\alpha, P): P \in P[a, b] }
$$
를 정의할 수 있다. 이 때 $\Lambda(\alpha)$ 가 유한값이면 이를 곡선 $\alpha$ 의 길이라 하게 된다.
이와 관련된 정리들은 꽤 복잡한 증명을 수반하므로 이번 절은 다음의 정리를 나열하는 것으로 마친다. 곡선의 길이 공식의 증명을 간단하게나마 설명하자면, 고른 연속의 성질과 평균값 정리에 의해 곡선의 길이와 리만합을 임의로 작게 만들 수 있고, 연속성에 따른 적분 가능성에 의해 리만합과 적분값을 임의로 작게 만들 수 있다. 따라서 삼각 부등식에 의해 곡선의 길이와 적분값의 차이를 임의로 작게 만들 수 있게 된다.
곡선 $\alpha: [a, b] \rightarrow R^m$ 의 성분함수가 $\alpha_1, ..., \alpha_m$ 으로 주어지면 다음은 동치이다.
•
곡선 $\alpha$ 의 길이가 유한값이다.
•
각 성분함수 $\alpha_k$ 가 유계 변동 함수이다.
임의의 $C^1$ 곡선 $\alpha: [a, b] \rightarrow R$ 은 길이가 유한이며, 그 값은 $\Lambda(\alpha) = \int_a^b{ || \alpha'(x) || dx }$ 이다.
5.5. 스틸체스 적분
마지막으로 스틸체스 적분을 정의하고, 그 성질을 정리한다.
임의의 유계함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 과 단조증가함수 $\alpha: [a, b] \rightarrow R$ 이 주어졌을 때, 분할 $P$ 에 대한 상합과 하합을 다음과 같이 정의한다.
$$
U_a^b(f, P, \alpha) = \sum_{i = 1}^n{ M_i ( \alpha(x_i) - \alpha(x_{i - 1}) ) }
\\
L_a^b(f, P, \alpha) = \sum_{i = 1}^n{ m_i ( \alpha(x_i) - \alpha(x_{i - 1}) ) }
$$
또 함수 $f$ 의 상적분과 하적분을 다음과 같이 정의한다.
$$
\overline{\int_a^b}{ f d\alpha } = \inf{ U_a^b(f, P, \alpha): P \in P[a, b] }
\\
\underline{\int_a^b}{ f d\alpha } = \sup{ L_a^b(f, P, \alpha): P \in P[a, b] }
$$
마찬가지로 상적분과 하적분의 값이 같으면 함수 $f$ 가 $\alpha$ 에 관하여 리만-스틸체스 적분 가능하다고 말하고, $f \in \Re(\alpha)$ 와 같이 쓴다. 물론 그 값이 바로 적분값이다. 리만-스틸체스 적분에 관하여도 리만 적분에 대한 선형성, 그리고 구간의 분할에 대한 정리가 동일하게 적용된다. 귀찮으므로 적는 것은 생략한다.
이제 리만-스틸체스 합을 다음과 같이 정의한다.
$$
S(f, P, \alpha) = \sum_{i = 1}^n{ f(t_i) ( \alpha(x_i) - \alpha(x_{i - 1}) ) }
$$
그러면 다음과 같은 정리가 또 마찬가지로 성립한다.
유계함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 와 단조증가함수 $\alpha: [a, b] \rightarrow R$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
함수 $f$ 가 $\alpha$ 에 관해 리만-스틸체스 적분 가능하다.
•
임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 $U(f, P, \alpha) - L(f, P, \alpha) < \epsilon$을 만족하는 분할 $P \in P[a, b]$ 가 존재한다.
•
실수 $A$ 가 존재하여 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $P \in P[a, b], P \supset P_0 \Rightarrow |S(f, P, \alpha) - A| < \epsilon$ 을 만족하는 분할 $P_0 \in P[a, b]$ 가 존재한다.
위에서 리만 적분에서는 가능했던 분할의 norm의 극한에 관한 논의가 리만-스틸체스 적분에서는 불가능함에 주의하자. 실제로 분할의 norm에 대한 극한값이 존재하면 함수는 리만-스틸체스 적분 가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다. $\alpha$ 가 불연속 함수인 경우 분할을 잘못(?) 잡으면 분할의 norm을 아무리 줄여도 $\alpha$ 에 관한 함수값의 차이가 줄어들지 않기 때문이다. 물론 그렇기 때문에 연속일 경우에는 위의 명제들과 분할의 norm에 대한 극한의 존재성이 동치이기도 하다.
이제 유계 변동 함수에 대해 리만-스틸체스 적분을 정의한다. 이전 절에서 임의의 유계 변동 함수는 두 단조증가함수의 차이로 표현할 수 있음을 보였는데, 리만-스틸체스 적분은 선형성을 가지므로 함수가 두 단조증가함수에 대해 리만-스틸체스 적분 가능하면 결과적으로 해당 함수가 해당 유계 변동 함수에 대해 리만-스틸체스 적분 가능하다고 할 수 있다. 따라서 다음의 정리를 얻는다.
$f: [a, b] \rightarrow R$ 이 연속함수이면 임의의 유계 변동 함수 $\alpha$ 에 대해 $f \in \Re(\alpha)$ 이다.
또한 여기서는 생략할 꽤 복잡한 증명에 의해 다음 정리를 얻는다. 즉 유계 변동 함수에 대해서도 리만-스틸체스 적분의 정의를 리만합의 개념으로 확장할 수 있다.
유계함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 과 유계 변동 함수 $\alpha: [a, b] \rightarrow R$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
$f \in \Re(\alpha)$ 이고, $\int_a^b{ f d\alpha } = A$ 이다.
•
임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 $P \in P[a, b], P \supset P_0 \Rightarrow | S(f, P, \alpha) - A | < \epsilon$ 을 만족하는 분할 $P_0$ 가 존재한다.
이제 스틸체스 적분을 계산하는 방법을 다음의 정리들이 제공한다.
함수 $\alpha: [a, b] \rightarrow R$ 가 미분 가능하고 그 도함수 $\alpha'$ 이 연속이라 하자. 유계함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 가 $\alpha$ 에 관해 리만-스틸체스 적분 가능하면, 함수 $f\alpha'$ 이 리만 적분 가능하고, 특히 $\int_a^b{f(x) d\alpha(x)} = \int_a^b{f(x)\alpha'(x)dx}$ 이다.
유계 변동 함수 $f, \alpha: [a, b] \rightarrow R$ 가 주어져 있다고 하자. $f \in \Re(\alpha)$ 이면 $\alpha \in \Re(f)$ 이고 $\int_a^b{fd\alpha} + \int_a^b{\alpha df} = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a)$ 이다.
함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 가 단조증가하고 $g: [a, b] \rightarrow R$ 이 연속이라 하자. 그러면 $\int_a^b{f(x)g(x)dx} = f(a) \int_a^c{g(x)dx} + f(b) \int_c^b{g(x)dx}$ 인 $c \in [a, b]$ 가 존재한다.
이제 미분과 적분을 이해하고 그 성질을 이해하기까지의 길고 험난한 해석개론 1의 과정이 끝났다. 이로써 우리는 정의역과 치역을 구성하는 실수의 성질, 그리고 정의역과 치역에 대한 유계 집합, 열린 집합, 닫힌 집합, 옹골 집합의 정의와 성질, 함수의 극한과 연속성의 정의와 성질, 그리고 마지막으로 미분과 적분의 정의와 성질에 대해 논할 수 있게 되었다. 물론 고등학교 때부터 배워 온 미분과 적분, 열린 집합과 닫힌 집합 등의 정리를 생각해보자면 새롭게 터득한 것이 많지는 않지만, 이 수업으로 인해 나로써는 거의 잊어왔던 미분과 적분에 대한 성질에 대해 복습할 수 있었고, 또 조금 더 일반적인 상황에서 이를 이해하고 응용할 수 있게 되었다는 의의를 가진다고 할 수 있게 되겠다.
물론 해석개론 책의 딱 절반을 공부한 만큼 함수열과 푸리에 급수, 르벡 적분 등에 대해 더 공부할 수도 있겠다. 하지만 나는 바쁘고 배울 것은 또 많으니 그것은 필요에 따라 하는 것으로 하겠다. 여러모로 절망감도 많이 주고, 지적 흥미도 많이 불러일으켜 준 애증의 해석개론 수업이었다.
E.O.D.