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극한을 논하기 위해서는 수집합의 순서구조를 논할 수 있어야 한다. 예컨대 극한이라는 것은 수열 혹은 함수 등이 어떤 값에 점점 가까워진다는 것을 의미하는데, '가깝다'는 개념은 자연스럽게 순서구조를 요구하기 때문이다. 실수체와 유리수체는 순서구조를 가지는 대표적인 수집합이다. 특히 완비성공리를 만족하는 수집합은 실수체 뿐인데, 완비성공리는 후에 극한을 논하는 데 중요한 역할을 한다.
1.2 완비성공리
완비성공리: 위로/아래로 유계이며 비어 있지 않은 집합은 최소상계/최대하계를 가진다.
이 때 위로 유계이며 비어 있지 않은 집합이 최소상계를 가진다면, 상계들의 집합은 최대하계를 가지게 되므로 아래로 유계이며 비어 있지 않은 집합은 최대하계를 가지게 되고, 위 두 명제는 동치이다.
이러한 완비성공리는 어떠한 성질을 가지는 실수의 존재를 주장한다는 의의를 가진다. 예컨대 ${x: x^2 < 2}$와 같은 집합에 완비성공리를 적용해 보면 2의 제곱근에 대한 실마리를 얻게 된다.
또 자연스럽게 자연수의 집합 $N$은 위로 유계가 아님을 알 수 있으며, 이에 따라 아르키메데스의 법칙을 얻는다.
아르키메데스 법칙: 임의의 양수 $a > 0$와 실수 $b \in R$에 대하여 $na > b$를 만족하는 자연수 $n$이 존재한다.
1.3 수열의 극한
정의역이 자연수인 함수를 수열이라고 한다. 만약 실수 $x \in R$ 과 임의의 양수 $\epsilon > 0$에 대해 다음 성질
$$
n ≥ N \Rightarrow |x - x_n| < \epsilon
$$
인 자연수 $N$ 이 존재하면 수열 $<x_n>$이 $x$로 수렴한다고 말한다. 수렴하지 않는 수열은 발산한다고 말한다.
만약 어떤 수열이 수렴한다면, 충분히 큰 자연수는 모두 $x + \epsilon$ 보다 작으며, 충분히 크지 않은 자연수는 유한개뿐이므로 해당 수열은 유계임을 쉽게 알 수 있다. 즉 수렴하는 수열은 유계이다.
1.4 단조수열
실수열 $<x_n>$이 모든 자연수 $n$ 에 대해
$$
x_n ≤ x_{n + 1}
$$
이면 해당 수열을 단조증가수열이라고 말한다.
만약 단조증가수열이 유계라면 완비성공리에 의해 그 수열은 최소상계를 가지고, 이 최소상계가 바로 최소상계의 정의에 의해 단조증가수열의 수렴값이라는 것을 보이는 것은 어렵지 않다. 따라서 다음 명제를 얻는다.
유계인 단조 실수열은 항상 수렴한다.
이제 상극한과 하극한은 각각 수열 ${x_k: k = n, n+1, ...}$의 상한들의 하한, 하한들의 상한으로 정의된다. 이에 대해 다음과 같은 정리를 보일 수 있다.
유계실수열 $<x_n>$의 상극한이 $\alpha \in R$이면 다음 두 성질을 만족하고, 역으로 다음 두 성질을 만족하면 $\alpha$는 $<x_n>$의 상극한이다.
•
임의의 양수 $\epsilon > 0$에 대해 $n ≥ N \Rightarrow x_n < \alpha + \epsilon$인 $N$이 존재한다.
•
임의의 양수 $\epsilon > 0$에 대해 $\alpha - \epsilon < x_n$을 만족하는 자연수 $n$이 무한히 많이 존재한다.
이에 따라 상극한과 하극한이 같으면 수열은 수렴하고, 수렴하면 그 수열의 상극한과 하극한이 같음을 알아낼 수 있다.
또한 유계인 단조 실수열이 항상 수렴함을 이용하여 축소구간정리를 얻을 수 있다. 구간열의 양 끝은 각각 단조함수이고, 더불어 유계이기 때문에 수렴값을 가지기 때문이다.
축소구간정리: 유계닫힌구간들로 이루어진 구간열 $<I_n>$이 점차 감소한다면, 그 교집합 $\cap{I_n}$은 비어 있지 않다.
완비성공리를 이용하여 유계인 단조 실수열이 항상 수렴함을 보였는데, 유계인 단조 실수열이 항상 수렴함을 이용해 축소구간정리를 얻을 수 있다. 더불어 축소구간정리를 가정한다면 양 끝점이 최소상계로 수렴하는 구간열을 잡아 완비성공리를 증명해낼 수 있는데, 이에 따라 세 명제는 동치이다.
1.5 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합
자연수 집합의 원소들은 셀 수 있는가? 그렇다면 유리수의 집합은? 셀 수 있다는 것은 무엇인가? 이러한 주제에 대해 칸토르가 연구한 영역을 둘러볼 수 있겠다.
셀 수 있는 집합이라 함은, 자연수의 집합과 일대일 대응관계를 가지는 집합을 말한다. 그런데 그것이 참 애매한게, 자연수의 집합은 당연하다 치더라도 유리수의 집합 역시 셀 수 있는 집합에 속한다. {0, 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, ...} 과 같이 늘어놓으면 자연수 집합과의 일대일 대응이 가능하기 때문이다. 얼추 규칙적으로 잘 늘어놓을 수 있는 집합이라고 이해하는 것이 마음 편하다.
그렇다면 셀 수 없는 집합으로는 무엇이 있을까? 대표적으로 실구간([0, 1] 등)과 칸토르 집합 등이 있다. 칸토르 집합이란 [0, 1]을 3등분하여 가운데를 들어내고, 나머지 구간들을 다시 각각 3등분하여 가운데를 들어내기를 무한히 반복한 집합인데, 제외한 구간의 길이가 무려 1에 해당함에도 불구하고 이 집합은 셀 수 없는 집합이다. 사실 무슨 헛소리인지 잘 이해하지 못하겠는 기분도 들지만, 우리가 이해하려고 하는 "수"라는 것이 무엇인지 다시금 생각해보게 된다.
1장에서는 함수의 정의역 및 치역의 모집단이 될 수 있는 실수체에 대해 공부하였다. 특히 극한값의 존재를 암시하는 완비성공리 - 유계 단조 수열의 수렴성 - 축소구간정리가 이 장의 핵심이라고 할 수 있겠다. 2장에서는 이제 정의역 및 치역이 될 수 있는 집합의 성질들에 대해 배우게 된다.
E.O.D.