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이 장에서는 미분의 정의와 성질을 배운다.
4.1. 미분가능성
열린 구간에서 정의된 함수 $f: (a, b) \rightarrow R$ 와 $x_0 \in (a, b)$ 가 주어져 있을 때, 극한값
$$
\lim_{h \rightarrow 0}{ \frac{f(x_0 + h) - f(x)}{h} }
$$
이 존재하면 $f$ 가 $x_0$ 에서 미분가능하다고 한다. 물론 그 극한값을 미분계수라 한다.
그런데 $h > 0$ 인 경우와 $h < 0$ 인 경우를 나누어 생각해보면, 미분가능성에 대한 논의는 다음과 같이 표현할 수도 있다. 이는 분수식을 사용하지 않고 미분을 정의할 수 있음에 의의가 있다.
다음을 만족하는 실수 $\alpha \in R$ 과 함수 $\eta: N(0, \delta) \backslash {0} \rightarrow R$ 이 존재한다.
$$
f(x_0 + h) - f(x) = h \alpha + |h| \eta(h)
\\
\lim_{h \rightarrow 0}{\eta(h)} = 0
$$
이제 미분의 정의를 이용한 간단한 증명을 통해 고등학교 때부터 끊임 없이 보아온 정리들을 증명할 수 있다. 예컨대 함수는 미분 가능한 점에서 연속이고, 합의 미분 및 곱의 미분식은 어떻고, 합성 함수의 미분식(연쇄 법칙)은 어떻고 하는 것들이다. 이것은 구글에 치면 3초 만에 찾을 수 있으니 기록하지 않는다.
4.2. 평균값정리
이 절에서는 많이 써 왔지만 정작 증명해 본 적은 없는 평균값정리와 로피탈의 정리 등을 증명한다.
우선 유계 닫힌 구간에서 정의된 연속 함수를 생각해보자. 연속함수는 집합의 옹골 성질을 보존하기 때문에 치역 역시 유계 닫힌 구간이며, 따라서 최대값 및 최소값이 존재한다. 그 최대값 혹은 최소값에 대해 생각해보면, 그 점에서의 뉴턴 몫은 아무리 작은 근방을 잡아도 양 쪽의 부호가 다르다. 이제 그 점에서 함수가 미분 가능하다면 당연히 그 값은 0이다.
함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하다고 하자. 만일 $f(a) = f(b)$ 이면 $f'(c) = 0$ 인 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.
위의 조건을 만족하는 두 함수 $f, g$ 와 새로운 함수 $h(x) = [f(b) - f(a)] g(x) - [g(b) - g(a)] f(x)$ 를 생각해보자. 그러면 위의 정리를 적용해 코시의 일반적인 평균값정리를 얻어낼 수 있다.
두 함수 $f, g: [a, b] \rightarrow R$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고, $(a, b)$ 에서 미분가능하다고 하자. 그러면 $f'(c) [g(b) - g(a)] = g'(c) [f(b) - f(a)]$ 를 만족하는 점 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.
여기서 $g(x) = x$ 로 두면 자연스럽게 평균값정리를 얻는다.
함수 $f: [a, b] \rightarrow R$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하면 $f(b) - f(a) = f'(c) (b - a)$ 인 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.
함수 $f: (a, b) \rightarrow R$ 가 미분가능하다고 하자. 그러면 $f$ 가 단조증가함수, 상수함수, 단조감소함수일 필요충분조건은 각각 $f' ≥ 0, f' = 0, f' ≤ 0$ 이다.
이제 평균값정리를 이용해 로피탈의 정리를 증명할 수 있다. 증명은 생략한다.
두 함수 $f, g$ 에 대하여 $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0}{g(x)} = 0$ 이라 하자. 만약 $\lim_{x \rightarrow x_0}{ \frac{f'(x)}{g'(x)} } = \alpha$ 이면 $\lim_{x \rightarrow x_0}{ \frac{f(x)}{g(x)} } = \alpha$ 이다.
또 $f$ 의 원시함수 $F$ 에 대해 $F'(a) < \alpha < F'(b)$ 일 때 새로운 함수를 $G(x) = F(x) - \alpha x$ 와 같이 정의하면, $G$ 의 최소점 $c$ 는 열린 구간 $(a, b)$ 안에 존재한다. 이 점에서 물론 $G'(c) = 0$ 이므로 다음을 얻는다.
함수 $F: [a, b] \rightarrow R$ 가 미분가능하고 $F'(a) < \alpha < F'(b)$ 이면, $F'(c) = \alpha$ 인 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.
이는 다음과 같이 해석할 수도 있다.
구간 $I$ 에서 정의된 함수 $f: I \rightarrow R$ 가 원시함수를 가진다면, $f$ 에 의한 구간 $J \subset I$ 의 상 $f(J)$ 는 항상 구간이다.
즉 원시함수를 가지는 함수는 구간을 보존한다.
4.3. 테일러 전개
평균값 정리의 대표적인 응용으로, 평균값 정리를 반복적으로 사용하여 주어진 함수를 다항식으로 근사시키는 테일러 전개가 있다.
우선 $F(t) = \sum_{k = 0}^n{ \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x - t)^k }$, $G(t) = \sum_{k = 0}^n{ \frac{g^{(k)}(t)}{k!} (x - t)^k }$ 와 같이 정의하여 평균값 정리를 적용하면 다음의 정리를 얻는다.
서로 다른 두 실수 $a, b$ 를 끝점으로 하는 닫힌 구간 $I$ 에서 정의된 두 함수 $f, g: I \rightarrow R$ 와 자연수 $n = 0, 1, ...$ 이 주어져 있으며, $f^{(n)}$ 과 $g^{(n)}$ 이 $I$ 에서 연속이고 $intI$ 에서 미분가능하다고 하자. 그러면 각 $x \in intI$ 에 대해 다음 관계식이 성립하는 $c_x$ 가 $a$ 와 $x$ 사이에 존재한다.
$$
[f(x) - \sum_{k = 0}^n{ \frac{ f^{(k)}(a) }{ k! } (x - a)^k }] g^{(n +1)}(c_x)
= [g(x) - \sum_{k = 0}^n{ \frac{ g^{(k)}(a) }{ k! } (x - a)^k }] f^{(n +1)}(c_x)
$$
따라서 $g(x) = (x - a)^{(n + 1)}$ 이라 두면 다음의 테일러 정리를 얻는다.
서로 다른 두 실수 $a, b$ 를 끝점으로 하는 닫힌 구간 $I$ 에서 정의된 두 함수 $f: I \rightarrow R$ 와 자연수 $n = 0, 1, ...$ 이 주어져 있으며, $f^{(n)}$ 이 $I$ 에서 연속이고 $intI$ 에서 미분가능하다고 하자. 그러면 각 $x \in intI$ 에 대해 다음 관계식이 성립하는 $c_x$ 가 $a$ 와 $x$ 사이에 존재한다.
$$
f(x) = \sum_{k = 0}^n{ \frac{ f^{(k)}(a) }{ k! } (x - a)^k } + \frac{ f^{(n + 1)}(c_x) }{ (n + 1)! } (x - a)^{n + 1}
$$
여기서 마지막 항을 바로 나머지항이라 한다. 이러한 테일러 급수가 모든 점에서 원래의 함수로 수렴하면 이 함수를 해석함수라 하는데, 신기한 점은 해석함수의 경우 아주 작은 근방의 함수값이 모든 함수값을 결정한다는 것이다.
그런데 어떤 함수가 해석함수가 될 필요충분조건은 바로 나머지항이 0으로 수렴하는 것이다. $\frac{\alpha^n}{n!}$ 이 0으로 수렴하기 때문에, $f^{(n)}$ 이 유계이면 곧 그 함수는 해석함수이다. 물론 여기서 이 함수는 $C^\infty$ 여야 한다.
구간 $I$ 에서 정의된 실함수 $f: I \rightarrow R$ 가 $C^\infty$ 이고, $I$ 의 서로 다른 두 점 $a, x$ 사이의 닫힌 구간을 $J$ 라 하자. 집합 ${|f^{(n)}(t)|: t \in J, n = 0, 1, 2, ...}$ 가 위로 유계이면 테일러 급수는 $f(x)$ 로 수렴한다.
이러한 해석함수는 꽤나 직관적인 함수여서, 19세기 즈음 까지만해도 모든 함수는 해석함수로 받아들여졌다고 한다. 실제로도 꽤 직관적인 일들이 해석함수에서는 가능한데, 예컨대 해석함수인 경우에는 테일러 급수의 각 항을 미분하여 더해도 원래 함수의 미분과 같다.
이제 미분의 정의와 성질을 배웠다. 어쩐지 1~3장에서 배운 내용이 꽤 방대하다보니 4장이 초라하게 느껴지기까지 한다. 어쨌거나 익히 알고 있던 미분과 그 성질들을 비로소 수학적으로 이해하고 증명할 수 있게 되었다.
다음 장에서는 적분의 정의와 성질에 대해 공부한다.
E.O.D.