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이번 장에서는 정사각 행렬을 특정한 scalar value에 할당하는 함수인 행렬식(determinants)에 대해 간단히 배운다. 옛날에는 이 행렬식이 선형 대수학의 주요한 연구 분야 중 하나였다고 하는데, 이제는 그만큼의 중요성을 차지하고 있지는 않다고 한다. 그러니 조금 대충 훑고 넘어가보도록 하겠다.
4.1. Determinants of Order $2$
우선 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 고등학교 때 많이 봐 왔던 그 정의를 따른다.
(Def: Determinant) If $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ is a $2 \times 2$ matrix with entries from a field $F$, then we define the determinant of $A$, denoted $det(A)$ or $|A|$, to be the scalar $ad - bc$.
또한 간단한 계산에 의해 다음의 정리를 증명할 수 있다. 즉 나머지 행을 고정했을 때, 행렬식은 각각의 행의 원소에 대한 linear function이다. 이를 $n-linearity$라 한다.
(Thm 4.1) The function $det: M_{2 \times 2}(F) \rightarrow F$ is a linear function of each row of a $2 \times 2$ matrix when the other row is held fixed.
만약 어떤 행렬이 invertible이라면 그 행렬은 full rank이고, 이에 따라 reduced form으로 변형된 행렬 역시 full rank여야 한다. 이를 이용해 다음의 정리가 증명 가능하다.
(Thm 4.2) Let $A \in M_{2 \times 2}(F)$. Then the determinant of $A$ is nonzero if and only if $A$ is invertible. Moreover, if $A$ is invertible, then
$$
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}
\begin{pmatrix}
A_{22} & -A_{12} \\
-A_{21} & A_{11}
\end{pmatrix}
$$
이러한 행렬식과 두 벡터가 만들어내는 parallelogram의 면적은 특수한 관계를 가지는데, 사실 두 벡터로 이루어진 행렬 $A = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$가 주어졌을 때 두 벡터가 이루는 parellelogram의 면적이 바로 $|det(A)|$이다. 증명은 책을 참고하자.
4.2. Determinants of Order $n$
이번 절에서는 행렬식의 개념을 $n \times n$ 행렬로 확장한다. 이를 위해 우선, $A \in M_{n \times n}(F)$인 행렬 $A$에 대해 row $i$와 column $j$를 제거하여 얻은 $n-1 \times n-1$ 행렬을 $\tilde{A}_{ij}$라 부른다.
그러면 $n \times n$ 행렬의 행렬식을 다음과 같이 정의한다.
(Def: Determinant) Let $A \in M_{n \times n}(F)$. If $n = 1$, so that $A = (A_{11})$, we define $det(A) = A_{11}$. For $n ≥ 2$, we define $det(A)$ recursively as $det(A) = \sum_{j = 1}^n{ (-1)^{1 + j} A_{1j} det(\tilde{A}_{1j}) }$.
여기서 $c_{ij} = (-1)^{i + j} A_{ij}$ 부분을 $A_{ij}$의 cofactor라 부른다. 다시 말해 $det(A) = A_{11} c_{11} + A_{12} c_{12} + ... + A_{1n} c_{1n}$이며, 이를 cofactor expansion (along the first row)라 한다.
$n \times n$ 행렬에 대해서도 행렬식 함수는 $n-linearity$를 가지는데, 증명은 induction에 의해 가능하다.
(Thm 4.3) The determinant of an $n \times n$ matrix is a linear function of each row when the remaining rows are held fixed.
그러면 다음의 정리는 당연하다. $0 = a - a$이기 때문이다.
(Cor) If $A \in M_{n \times n}(F)$ has a row consisting entirely of zeros, then $det(A) = 0$.
행렬식의 정의는 첫 번째 행에 대한 cofactor expansion이었는데, 이를 아무 행에 대한 cofactor expansion으로 확장할 수 있다. 우선 induction에 의해 다음의 정리가 증명 가능하다.
(Lem) Let $B \in M_{n \times n}(F)$, where $n > 2$. If row $i$ of $B$ equals $e_k$ for some $k (1 ≤ k ≤ n)$, then $det(B) = (-1)^{i + k}det(\tilde{B}_{ik})$.
이제 행렬 $A \in M_{n \times n}(F)$의 임의의 행 $A_i$를 $e_k$로 대체한 행렬을 $B_{ik}$라 하자. 그러면 행렬식의 $n-linearity$에 의해, $A$의 행렬식을 $det(A) = A_{i1} det(B_{i1}) + A_{i2} det(B_{i2}) + ... A_{in} det(B_{in})$으로 쓸 수 있다. 따라서 다음의 정리가 증명된다.
(Thm 4.4) The determinant of a square matrix can be evaluated by cofactor expansion along any row.
그러면 $j ≠ s$이고 $A_j = A_s$인 $j, s$에 대해, 계속 $j, s$가 아닌 행에 대한 cofactor expansion으로 행렬식을 거슬러올라가다 보면 마지막에는 두 행이 같은 $2 \times 2$ 행렬이 남는다. 이 행렬의 determinant는 정리 4.2에 의해 0이며, 따라서 다음의 정리가 증명된다. (교과서에서는 induction을 통해 증명한다.)
(Cor) If $A \in M_{n \times n}(F)$ has two identical rows, then $det(A) = 0$.
또 위와 같은 방식으로 맞바꾼 두 행을 끝까지 남기면 원래 행렬의 행렬식과 두 행을 맞바꾼 행렬의 행렬식은 서로 부호를 맞바꾼 값이 된다. 즉,
(Thm 4.5) If $A \in M_{n \times n}(F)$ and $B$ is a matrix obtained from $A$ by interchanging any two rows of $A$, then $det(-B) = -det(A)$.
또 정리 4.4의 따름정리에 의해 행렬식에 대한 다음 정리 또한 쉽게 증명된다.
(Thm 4.6) Let $A \in M_{n \times n}(F)$, and let $B$ be a matrix obtained by adding a multiple of one row of $A$ to another row of $A$. Then $det(B) = det(A)$.
한편 위의 정리에 의해, 행렬의 rank가 $n$보다 작다면 어떤 행이 다른 행들의 선형 조합으로 표현될 수 있으므로, 결국 두 행을 같게 만들 수 있다. 따라서 다음의 정리가 따른다.
(Cor) If $A \in M_{n x n}(F)$ has rank less than $n$, then $det(A) = 0$.
따라서 세 가지 type의 elementary row operation과 행렬식의 값의 관계를 다음과 같이 정리할 수 있다.
•
If $B$ is a matrix obtained by interchanging any two rows of $A$, then $det(B) = -det(A)$.
•
If $B$ is a matrix obtained by multiplying a row of $A$ by a nonzero scalar $k$, then $det(B) = k det(A)$.
•
If $B$ is a matrix obtained by adding a multiple of one row of $A$ to another row of $A$, then $det(B) = det(A)$.
이제 upper triangular matrix의 행렬식의 값은 diagonal elements를 모두 곱한 것이라는 사실을 염두에 둔다면, 위의 elementary operation들을 통해 행렬식을 훨씬 쉽게 구해낼 수 있게 된다.
4.3. Properties of Determinants
이전 절의 마지막 부분을 생각해보면, elementary matrix에 대한 행렬식 값을 다음과 같이 정리할 수 있다.
•
If $E$ is an elementary matrix obtained by interchanging any two rows of $I$, then $det(E) = -1$.
•
If $E$ is an elementary matrix obtained by multiplying some row of $I$ by the nonzero scalar $k$, then $det(F) = k$.
•
If $E$ is an elementary matrix obtained by adding a multiple of some row of $I$ to another row, then $det(F) = 1$.
그러면 어차피 행렬이 full rank가 아니라면 행렬식의 값은 0이고, full rank라면 invertible matrix로서 elementary matrix들의 곱으로 표현될 수 있으므로, 다음의 정리가 증명된다.
(Thm 4.7) For any $A, B \in M_{n \times n}(F)$, $det(AB) = det(A)det(B)$.
(Cor) A matrix $A \in M_{n \times n}(F)$ is invertible if and only if $det(A) ≠ 0$.
또 full rank가 아니라면 전치 행렬도 마찬가지이므로 행렬식은 0이고, full rank라면 elementary matrix에 대해서는 본 행렬과 전치 행렬의 행렬식이 같으므로 다음의 정리가 증명된다. 즉 당연한 이야기지만 행에 대해서만 한정적으로 행렬식을 생각할 필요가 없다.
(Thm 4.8) For any $A \in M_{n \times n}(F)$, $det(A^t) = det(A)$.
마지막으로 Cramer's rule이라 불리는 다음의 정리를 봐둘 만 하다. 다음의 정리는 정수 계수를 가진 linear system에 대해 그 해의 존재 여부를 판단하는 데 유용하게 쓰일 수 있다. 하지만 해를 구하기 위해서는 Gaussian elimination이 보다 효율적일 것이다.
(Thm 4.7: Cramer's Rule) Let $Ax = b$ be the matrix form of a system of $n$ linear equations in $n$ unknowns. If $det(A) ≠ 0$, then this system has a unique solution, and for each $k (k = 1, 2, ..., n)$, $x_k = det(M_k)/det(A)$, where $M_k$ is the $n \times n$ matrix obtained from $A$ by replacing column $k$ of $A$ by $b$.
또 4.1절에서와 같이 $n \times n$ 행렬에 대해서도 그 행렬식을 각 행 vector들이 그리는 parellelogram으로 이해할 수 있다.