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2장에서는 함수의 정의역 및 치역이 될 수 있는 좌표공간의 여러 성질들을 다룬다. 좌표공간의 위상적 성질이라 하니 굉장히 난해해 보이는데, 구체적으로 말해보자면 열린 집합이란 무엇이고 어떤 성질을 가지는지, 또 닫힌 집합은 어떠한지, 옹골 집합이란 무엇인지 등에 대해 배운다. 즉 정의역 및 치역에 대해 공부한다.
2.2. 열린 집합과 닫힌 집합
열린 집합과 닫힌 집합, 혹은 열린 구간과 닫힌 구간에 대해 많이 들어본 바 있다. 열린 집합과 닫힌 집합의 핵심적인 차이는, 열린 집합의 경우 집합 내의 임의의 원소를 포함하는 집합 내의 구간이 존재한다는 것이고, 닫힌 집합에서는 그것이 존재하지 않을 수 있다는 것이다.
즉, 임의의 집합 $A \subset R^n$ 과 그 원소 $x \in A$ 에 대해 $N(x, \epsilon) \subset A$ 인 양수 $\epsilon$ 이 존재하면 집합 $A$ 를 $R^n$ 의 열린 집합이라 한다. 또 임의의 집합 $A$ 에 대해 위와 같은 성질을 만족하는 점 $x$ 를 집합 $A$ 의 안점이라 하며, 안점 전체의 집합을 $intA$ 와 같이 표현한다. 이에 따라 당연히 $intA \subset A$ 이며, 집합 $A$ 가 열린 집합일 필요충분조건은 $intA = A$ 이다.
또 집합 $B \subset R^n$ 의 여집합 $R \setminus B$ 가 열린 집합이면 집합 $B$ 를 $R^n$ 의 닫힌 집합이라 한다. 따라서 공집합과 전체 집합은 열린 집합이면서 또 닫힌 집합이다.
하지만 정의만으로 닫힌 집합임을 규명하는 것은 쉽지 않기 때문에, 닫힌 집합의 필요충분조건들을 익혀 두면 유용하다. 먼저 집합 $A \subset R^n$ 과 점 $x \in R^n$ 에 대해 임의의 양수 $\epsilon > 0$이 주어졌을 때 $N(x, \epsilon) \cap (A \setminus {x}) ≠ \emptyset$ 를 만족하면 $x$ 가 $A$ 의 극한점(limit point)라 한다. 집합 $A$ 의 극한을 모두 모은 집합을 $A'$ 으로 표시하며, 합집합 $A \cup A'$ 를 $A$ 의 닫힘이라 하고 $\bar{A}$ 와 같이 표시한다. 마지막으로 극한점이 아닌 $A$ 의 원소를 $A$ 의 고립점이라 한다.
극한점의 의미를 되새겨보면 아무리 작은 근방을 잡아도 그 안에 집합의 원소가 존재한다는 것인데, 이는 아무리 작은 원을 잡아도 충분히 큰 $n$ 에 대해 수열의 항 $x_n$ 이 그 원 안에 들어간다는 극한의 개념과 일맥상통한다. 실제로, 다음과 같은 정리를 증명할 수 있다.
임의의 집합 $A \subset R^n$ 과 점 $x \in R^n$ 에 대해 다음이 성립한다.
•
점 $x$ 가 $A$ 의 극한점이다 $\iff$ $A \setminus {x}$ 안에 $x$ 로 수렴하는 수열이 존재한다.
•
점 $x$ 가 닫힘 $\bar{A}$ 의 원소이다 $\iff$ $A$ 안에 $x$ 로 수렴하는 수열이 존재한다.
또 정의에 의해 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.
집합 $F \subset R^n$ 에 대해, 다음은 동치이다.
•
$F$ 는 닫힌 집합이다.
•
$F' \subset F$
•
$\bar{F} = F$
•
$F$ 안의 수열 $<x_n>$ 이 $x$ 로 수렴하면 $x \in F$ 이다.
따라서 임의의 집합 $A \subset R^n$ 에 대해 $A'$ 의 임의의 극한점이 $A'$ 의 원소임을 증명할 수 있고, 다음을 얻는다.
임의의 집합 $A \subset R^n$ 에 대해 $A'$ 는 항상 닫힌 집합이다.
2.3. 유계집합과 코시수열
여기서는 집합의 중요한 성질 중 하나인 유계와, 순서구조 없이도 수렴성을 파악할 수 있는 수열의 형태인 코시수열에 대해 알아본다.
먼저 앞서 증명했던 축소구간정리는 다차원으로 확장이 가능하다.
각 $k = 1, 2, ..., N$ 과 $n = 1, 2, ...$ 에 대해 유계닫힌구간 $I_n^k$ 이 주어져 있고, $B_n = I_n^1 \times I_n^2 \times ... \times I_n^N \subset R^N$ 라 두자. $B_n$ 이 점차 감소한다면 그 교집합 $\cap{B_n}$ 은 비어 있지 않다.
이를 기반으로 볼차노-바이어슈트라스 정리의 증명이 가능하다. 즉 상자를 등분하고 무한개의 점을 품고 있는 상자를 택함으로써 상자열을 얻어가는데, 그 것이 비어 있지 않음으로써 다음 명제를 얻을 수 있다.
볼차노-바이어슈트라스 정리: 유계집합 $A \subset R^N$ 가 무한집합이면 극한점을 가진다.
이에 따라 유한집합은 극한점을 가지지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있는데, 유계집합의 경우에는 역으로 극한점을 가지지 않으면 유한집합임이 성립하게 된다. 또 정의에 의해 극한점을 가지는 집합은 무한집함임을 자연스럽게 알 수 있다.
점 $x \in R^n$ 이 집합 $A \subset R^n$ 의 극한점이라 하자. 그러면 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $A \cap N(x, \epsilon)$ 은 무한집합이다.
이러한 극한점의 개념은 이름에서 볼 수 있듯이 수열 혹은 함수의 개념과 맞닿아 있다. 어떤 점이 극한점일 경우 자연스럽게 그 근방에서 해당 점으로 수렴하는 수열을 뽑아낼 수 있는데, 이는 수열 혹은 함수의 극한과 극한점의 중요한 연결고리가 된다. 예컨대 유계수열은 유계이면서 무한집합이므로 극한점을 가지고, 다음의 정리가 성립한다.
유계수열은 항상 수렴하는 부분수열을 가진다.
위의 정리에서의 수렴값이 극한값임은 당연하다. 또 이러한 부분수열의 개념을 이용해 앞서 정의한 상극한/하극한을 재정의할 수 있다. 즉 상극한은 해당 점으로 수렴하는 부분수열을 가지는 점들의 집합의 maximum, 하극한은 해당 점으로 수렴하는 부분수열을 가지는 점들의 집합의 minimum에 해당한다. 이처럼 수렴하는 부분수열의 존재성과 극한점의 존재는 꽤 밀접히 관련되어 있는 것 같은데, 확인해보지는 않았지만 아마(?) 논리적으로 동치일 것 같다.
이제 앞서 증명한 볼차노-바이어슈트라스 정리와 부분수열의 개념을 이용해 코시수열과 수열의 수렴성이 논리적으로 동치임을 보일 수 있다. 코시수열이란 충분히 큰 두 자연수 $n, m$ 에 대해 $x_n, x_m$ 이 매우 가까운 수열을 나타낸다. 즉 임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 $m, n ≥ N \Rightarrow ||x_n - x_m|| < \epsilon$ 을 만족하는 자연수 $n, m$ 이 존재할 경우 해당 수열을 코시수열이라 한다. 이에 정의에 의해 다음의 명제들은 참이다.
수렴하는 수열은 코시수열이다. 또한, 임의의 코시수열은 유계이다.
코시수열의 한 부분수열이 점 $x$ 로 수렴하면, 전체 수열도 $x$ 로 수렴한다.
위 두 명제에 따라 어떤 수열이 코시수열이면 그 수열은 유계이고, 따라서 수렴하는 부분수열이 존재하므로 전체 수열이 수렴한다. 즉,
코시 판정법: 좌표공간의 코시수열은 항상 수렴한다.
2.4. 급수의 수렴판정
이 절에서는 급수의 수렴판정법을 몇 가지 배운다. 해석개론의 정수와는 거리가 머니(?) 따로 설명 없이 판정법만을 나열하는 것이 충분할 것 같다. 먼저 양수항 급수가 수렴하면 그 재배열급수 역시 같은 값으로 수렴한다. 일반적으로는 급수를 재배열하면 원래 급수와는 다른 극한값을 가지게 된다.
각 $n = 1, 2, ...$ 에 대해 $a_n ≥ 0$ 이고, 함수 $r: N \rightarrow N$ 이 전단사 함수라 하자. 만약 급수 $\sum_n{a_n}$ 이 $s$ 로 수렴하면, $\sum_n{a_{r(n)}} = s$ 이다. 또한 $\sum_n{a_n}$ 가 발산하면 $\sum_n{a_{r(n)}}$ 역시 발산한다.
교대급수판정법: 실수열 $<x_n>$ 이 다음 성질들
$$
x_1 ≥ ... ≥ x_n ≥ x_{n+1} ≥ ... ≥ 0, lim_n{x_n} = 0
$$
을 만족하면 급수 $\sum_n{(-1)^{n-1}x_n}$ 이 수렴한다.
비교판정법: 각 자연수 $n$ 에 대하여 $0 ≤ a_n ≤ b_n$ 이라 하자. 만일 $\sum_n{b_n}$ 이 수렴하면 $\sum_n{a_n}$ 도 수렴한다.
근판정법: 급수 $\sum_n{a_n}$ 에 대해 $\alpha = limsup_n{|a_n|^{1/n}}$ 이라 두자. $\alpha < 1$ 이면 급수는 절대수렴하고, $\alpha >1$ 이면 급수는 발산한다.
비율판정법: 급수 $\sum_n{a_n}$ 에 대해 $\alpha_n = |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ 이라 두자. 만일 $limsup_n{\alpha_n} < 1$ 이면 급수는 절대수렴하고, 충분히 큰 모든 $n$ 에 대해 $\alpha_n > 1$ 이면 급수는 발산한다.
각 $n$ 에 대하여 $c_n > 0$ 이면
$$
liminf_\infty{\frac{c_{n+1}}{c_n}} ≤ liminf_\infty{c_n^{1/n}} ≤ limsup_\infty{c_n^{1/n}} ≤ limsup_\infty{\frac{c_{n+1}}{c_n}}
$$
이 성립한다.
즉 비율판정법에 비해 근판정법이 더 엄격한 수렴판정이 가능하다. 하지만 비율판정법은 쉬운 계산을 보장한다는 이점을 가진다.
옹골집합
옹골집합은 좌표 공간에서 유계이며 닫힌 집합과 논리적으로 동치이며, 옹골집합에서 정의된 연속함수는 고른연속의 성질을 가지는 등 특수한 성질을 가지는 집합의 한 종류이다. 그리고 매우 난해하다.
우선 옹골집합(Compact set)이란, 임의의 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가지는 집합을 의미한다.
•
어떤 집합족의 합집합이 한 집합을 포함하면, 그 집합족을 덮개(cover)라 한다.
•
열린 집합들로 이루어진 덮개를 열린 덮개라 한다.
•
유한개의 집합들로 이루어진 집합족을 유한 덮개라 한다.
옹골집합과 닫힌 집합의 정의에 의해 다음과 같은 명제가 참이다.
임의의 옹골집합은 유계이고 닫혀 있다.
어떠한 집합이 옹골집합이 되기 위해서는 집합의 극한점(혹은 집합 내에 수렴하는 수열의 수렴점)이 집합 내에 존재하는지 여부가 중요한 역할을 한다. 예컨대 $x$ 로 수렴하는 수열에 대해 생각해 보면, 집합이 $x$ 를 포함할 경우 열린 덮개는 $x$ 를 포함하는 집합을 반드시 가지게 되고, 아직 덮히지 않은 점은 유한개 뿐이므로 옹골 집합임이 분명하다. 하지만 집합이 $x$ 를 포함하지 않을 경우 위와 같은 집합이 덮개에 있다는 보장이 없다. 따라서 위의 명제의 역으로 닫힌 집합이 옹골집합의 여부에 중요한 역할을 함을 암시한다.
실제로 위에서 언급했듯 유계 닫힌 집합과 옹골집합은 논리적으로 동치인데, 이를 위해 먼저 축소구간정리를 응용해 유계 닫힌 구간이 옹골집합임을 보일 수 있다.
즉 어떤 상자(유계 닫힌 구간)와 그 열린 덮개에 대해, 상자가 옹골집합이 아니라면 상자를 등분하고, 유한 열린 덮개를 가지지 않는 상자를 선택함으로써 감소하는 상자열을 만들어낼 수 있다. 그런데 축소구간정리에 의해 이러한 상자열에 결국 포함되는 원소 $x$ 가 하나 존재함을 기억하자. 열린 덮개에는 $x$ 를 포함하는 집합이 (덮개이므로) 존재해야 하고, 상자열의 부피(?)는 0으로 수렴하므로, 어느 순간부터 유한 열린 덮개를 가지지 않는 상자를 선택할 수 없게 된다.
상자 $B = I^1 \times ... \times I^N \subset R^N$ 는 옹골집합이다.
또 옹골집합 $C$ 는 임의의 열린 덮개에 대해 유한 부분 덮개 ${U_k}$ 를 가지고, 임의의 닫힌 부분집합 $X \subset C$ 에 대해 ${U_k} \cap X$ 는 당연히 $X$ 의 유한 열린 덮개이다. 즉
집합 $K \subset R^n$ 이 옹골집합이고 $F$ 가 $K$ 의 닫힌 부분집합이면, $F$ 도 옹골집합이다.
그렇다면 위 두 명제에 의해 자연스럽게 임의의 유계인 닫힌 집합은 옹골집합임을 알아낼 수 있다! 이로써 이 절의 핵심인 하이네-보렐 정리를 증명해낼 수 있는데, 옹골집합이 가지는 성질은 미분과 적분을 이해하는 데 큰 도움을 주기에 보다 쉬이 이해가 가능한 좌표 공간의 유계 닫힘이라는 성질로 대체하려는 수학자들의 노력이 묻어있음을 상기하자.
하이네-보렐 정리: 좌표공간의 부분집합 $K \subset R^n$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
집합 $K$ 는 옹골집합이다.
•
집합 $K$ 는 유계이며 닫혀있다.
•
집합 $K$ 안의 임의의 무한집합은 $K$ 안에서 극한점을 가진다.
•
집합 $K$ 안의 임의의 수열은 $K$ 안에서 수렴하는 부분수열을 가진다.
옹골 집합과 유계 닫힌 집합의 관계, 그리고 집합의 닫힘과 극한점의 개념이 첨예하게 엮여 있는 정리이다!
마지막으로 다음과 같은 축소구간정리의 확장판(?)이 옹골집합에 대해서는 성립함을 알 수 있다.
옹골집합들로 구성된 집합족 ${K_i : i \in I}$ 가 임의의 유한 부분집합 $J \subset I$ 에 대해 $cap_{i \in J}{K_i} ≠ \emptyset$ 이면, $\cap_{i \in I}{K_i} ≠ \emptyset$ 이다.
2.6. 연결집합
앞선 절에서는 열린 집합의 개념만을 이용해 유계 닫힌 집합을 특징지었다. 구간에 대해서도 비슷한 일이 가능한데, 이렇게 특징지어지는 집합을 연결집합이라 한다.
우선 $R$ 의 부분집합 $S$ 가 구간일 필요충분조건은 다음과 같다.
$$
a, b \in S, a < c < b \Rightarrow c \in S
$$
이제 다음과 같은 명제가 참이다.
실수의 부분집합 $S \subset R$ 에 대해 다음은 동치이다.
•
집합 $S$ 가 위의 조건을 만족하지 않는다.
•
$U \cap S ≠ \emptyset$, $V \cap S ≠ \emptyset$, $U \cap V \cap S = \emptyset$, $U \cup V \supseteq S$ 를 만족하는 $R$ 의 열린 집합 $U, V$ 가 존재한다.
•
$U ≠ \emptyset$, $V ≠ \emptyset$, $U \cap V = \emptyset$, $U \cup V = S$ 를 만족하는 $S$ 의 열린 집합 $U, V$ 가 존재한다.
세 번째 명제를 만족하는 집합 $U, V$ 가 존재하지 않으면 집합 $S$ 를 연결집합이라 한다. 즉 연결집합이라 함은 해당 집합을 양분하는 비어 있지 않은 집합의 조합을 찾을 수 없음을 의미한다.
하지만 정의에 의해 연결집합임을 보이는 것은 쉽지 않은데, 다음과 같은 명제를 사용하면 요긴하다고 한다.
연결집합들로 이루어진 집합족 ${C_i : i \in I}$ 의 교집합 $\cap_i{C_i}$ 이 비어 있지 않으면, 그 합집합 $\cup_i{C_i}$ 도 연결집합이다.
만약 합집합이 연결집합이 아니라면, 이를 양분하는 두 열린 집합이 있을 것이고, 각각의 집합들은 연결집합이므로 이 두 집합 중의 하나에 속하게 된다. 그러면 그 교집합은 자연스럽게 공집합이므로 위의 명제의 증명이 가능하다.
예컨대 선분 $[x, y] = {(1 - t)x + ty \in R^n : t \in [0, 1]}$ 은 연결집합임을 알 수 있고, 이에 따라 모든 근방이 연결 집합임 역시 알아낼 수 있다. 특히, 집합 내의 임의의 두 점을 연결한 선분이 그 집합에 속한다면 해당 집합을 볼록집합이라 칭한다.
참 길고도 난해한 2장이었다. 이번 장에서는 특히 정의역 및 치역이 가질 수 있는 집합의 여러 가지 속성들에 대해 배웠는데, 후에 특수한 상황에서의 미분 혹은 적분의 성질을 뽑아내는 데 중요한 역할을 할 것이다.
다음 장에서는 이제 미분에 한 발자국 가까이 다가가, 함수의 극한과 연속성에 대해 다룰 예정이다. 이러한 함수의 극한과 연속성은 미분의 정의에 직접적인 역할을 한다.
E.O.D.